Content from Matrices de contact

Dernière mise à jour le 2025-11-11 | Modifier cette page

Durée estimée : 50 minutes

Vue d'ensemble

Questions

  • Qu’est-ce qu’une matrice de contact ?
  • Comment les matrices de contact sont-elles estimées ?
  • Comment les matrices de contact sont-elles utilisées dans l’analyse épidémiologique ?

Objectifs

  • Utilisez le package R socialmixr pour estimer une matrice de contact
  • Comprendre les différents types d’analyse pour lesquels les matrices de contact peuvent être utilisées

Introduction

Certains groupes d’individus ont plus de contacts que d’autres ; l’écolier moyen a beaucoup plus de contacts quotidiens que la personne âgée moyenne, par exemple. Cette hétérogénéité des schémas de contact entre les différents groupes peut avoir un impact sur la transmission des maladies, car certains groupes sont plus susceptibles de transmettre la maladie à d’autres membres de ce groupe, ainsi qu’à d’autres groupes. La vitesse à laquelle les individus d’un même groupe et d’un groupe à l’autre entrent en contact avec d’autres personnes peut être résumée dans une matrice de contact. Dans ce tutoriel, nous allons apprendre comment les matrices de contact peuvent être utilisées dans différentes analyses et comment le package socialmixr peut être utilisé pour estimer les matrices de contact.

R 

library(socialmixr)

La matrice de contact

La matrice de contact de base représente la quantité de contacts, ou de mélanges, au sein de différents sous-groupes d’une population et entre ces sous-groupes. Les sous-groupes sont souvent des catégories d’âge, mais peuvent aussi être.. :

  • des zones géographiques (par exemple, différentes régions ou différents pays)
  • Groupes à risque (par exemple, professions à haut/faible risque)
  • Milieux sociaux (ménage, lieu de travail, école, etc.)

Par exemple, une matrice de contact hypothétique représentant le nombre moyen de contacts par jour entre les enfants et les adultes pourrait être la suivante :

\[ \begin{bmatrix} 2 & 2\ 1 & 3 \end{bmatrix} \] Dans cet exemple, cela signifie que les enfants rencontrent en moyenne 2 autres enfants et 2 adultes par jour (première ligne), et que les adultes rencontrent en moyenne 1 enfant et 3 autres adultes par jour (deuxième ligne). Nous pouvons utiliser ce type d’information pour rendre compte du rôle que joue l’hétérogénéité des contacts dans la transmission des maladies infectieuses.

Note sur la notation

Pour une matrice de contact avec des lignes \(i\) et des colonnes \(j\):

  • $C [i,j] $ représente le nombre moyen de contacts que les individus du groupe \(i\) ont avec les individus du groupe \(j\)
  • Cette moyenne est calculée comme le nombre total de contacts entre les groupes. \(i\) et \(j\), divisé par le nombre d’individus dans le groupe \(i\)

L’utilisation socialmixr

Les matrices de contact sont généralement estimées à partir des études qui utilisent des journaux pour enregistrer les interactions. Par exemple, l’enquête POLYMOD a mesuré les schémas de contact dans 8 pays européens en utilisant des données sur le lieu et la durée des contacts signalés par les participants à l’étude. (Mossong et al. 2008).

Le package R socialmixr contient des fonctions permettant d’estimer les matrices de contact à partir de POLYMOD et d’autres enquêtes. Nous pouvons charger les données de l’enquête POLYMOD :

R 

polymod <- socialmixr::polymod

Nous pouvons alors obtenir la matrice de contact pour les catégories d’âge souhaitées en spécifiant age.limits.

R 

contact_data <- contact_matrix(
  survey = polymod,
  countries = "United Kingdom",
  age.limits = c(0, 20, 40),
  symmetric = TRUE
)

SORTIE 

Removing participants that have contacts without age information. To change this behaviour, set the 'missing.contact.age' option

R 

contact_data

SORTIE 

$matrix
         contact.age.group
age.group   [0,20)  [20,40)      40+
  [0,20)  7.883663 3.120220 3.063895
  [20,40) 2.794154 4.854839 4.599893
  40+     1.565665 2.624868 5.005571

$demography
   age.group population proportion  year
      <char>      <num>      <num> <int>
1:    [0,20)   14799290  0.2454816  2005
2:   [20,40)   16526302  0.2741283  2005
3:       40+   28961159  0.4803901  2005

$participants
   age.group participants proportion
      <char>        <int>      <num>
1:    [0,20)          404  0.3996044
2:   [20,40)          248  0.2453017
3:       40+          359  0.3550940

Remarque : bien que la matrice de contact contact_data$matrix ne soit pas elle-même mathématiquement symétrique, elle satisfait à la condition selon laquelle le nombre total de contacts d’un groupe avec un autre est le même que l’inverse. En d’autres termes : contact_data$matrix[j,i]*contact_data$demography$proportion[j] = contact_data$matrix[i,j]*contact_data$demography$proportion[i]. Pour l’explication mathématique, voir la section correspondante dans la documentation de socialmixr.

Pourquoi une matrice de contact serait-elle non symétrique ?

L’un des arguments que nous avons donné à la fonction contact_matrix() est symmetric=TRUE. Cela garantit que le nombre total de contacts d’un groupe à l’autre est égal au nombre total de contacts du second groupe au premier (voir la section socialmixr vignette pour plus de détails).

Cependant, lorsque les matrices de contact sont estimées à partir d’enquêtes ou d’autres sources, le nombre de contacts signalés peut différer selon le groupe d’âge pour plusieurs raisons :

  • Biais de mémorisation : Les différents groupes d’âge pourraient avoir des capacités différentes à se souvenir des contacts et à les décrire avec précision.
  • Biais de déclaration : certains groupes pourraient systématiquement surestimer ou sous-estimer leurs contacts.
  • Incertitude de l’échantillonnage : La taille limitée des échantillons pourrait entraîner des variations statistiques (Prem et al 2021)

Si symmetric est réglé sur VRAI, la fonction contact_matrix() utilisera une moyenne des contacts signalés pour s’assurer que le nombre total de contacts obtenu est symétrique.

L’exemple ci-dessus utilise l’enquête POLYMOD. Il existe un certain nombre d’enquêtes disponibles dans socialmixr Pour obtenir la liste des enquêtes disponibles, utilisez list_surveys(). Pour télécharger une enquête, vous pouvez utiliser get_survey()

R 

zambia_sa_survey <- get_survey(
  "https://doi.org/10.5281/zenodo.3874675"
)

Vous pouvez explorer toutes les enquêtes disponibles dans le référentiel Zenodo à l’adresse https://zenodo.org/communities/social_contact_data/. Si vous souhaitez accéder à une URL spécifique dans R, vous pouvez essayer :

R 

library(socialmixr)
library(tidyverse)

# Get URL for Zambia contact survey data from {socialmixr}
socialmixr::list_surveys() %>%
  dplyr::filter(stringr::str_detect(title, "Zambia")) %>%
  dplyr::pull(url)

Matrice des contacts en Zambie

Le package R {socialmixr} contient des fonctions permettant d’estimer les matrices de contacts à partir de POLYMOD et d’autres enquêtes. Les résultats comprennent des informations démographiques telles que la taille de la population et le nombre de participants à l’étude. En utilisant {socialmixr}:

  • Téléchargé l’enquête de la Zambie

  • Générez une matrice de contact symétrique pour la Zambie en utilisant les tranches d’âge suivantes :

    • [0,20)
    • 20+

  • Accédez au vecteur représentant la taille de la population par tranche d’âge à partir du tableau de données démographiques dans la matrice de contact.

L’objet d’enquête zambia_sa_survey contient des données provenant de deux pays. Si vous avez besoin d’estimer la matrice des contacts sociaux à partir des données spécifiques à la Zambie, identifiez l’argument dont vous avez besoin dans socialmixr::contact_matrix() pour cela.

R 

# Inspect the countries within the survey object
levels(zambia_sa_survey$participants$country)

SORTIE 

[1] "South Africa" "Zambia"

Comme dans le code ci-dessus, pour accéder aux valeurs vectorielles dans un dataframe, vous pouvez utiliser l’opérateur signe dollar : $

R 

# Generate the contact matrix for Zambia only
contact_data_zambia <- socialmixr::contact_matrix(
  survey = zambia_sa_survey,
  countries = "Zambia", # key argument
  age.limits = c(0, 20),
  symmetric = TRUE
)

SORTIE 

Removing participants without age information. To change this behaviour, set the 'missing.participant.age' option

SORTIE 

Removing participants that have contacts without age information. To change this behaviour, set the 'missing.contact.age' option

R 

# Print the contact matrix for Zambia only
contact_data_zambia

SORTIE 

$matrix
         contact.age.group
age.group   [0,20)      20+
   [0,20) 3.650000 1.451168
   20+    1.988136 2.461856

$demography
   age.group population proportion  year
      <char>      <num>      <num> <int>
1:    [0,20)    8006201  0.5780636  2010
2:       20+    5843835  0.4219364  2010

$participants
   age.group participants proportion
      <char>        <int>      <num>
1:    [0,20)          180 0.08490566
2:       20+         1940 0.91509434

R 

# Print the vector of population size for {epidemics}
contact_data_zambia$demography$population

SORTIE 

[1] 8006201 5843835

Matrices de contact synthétiques

Les matrices de contact peuvent être estimées à partir de données obtenues des journaux (tels que POLYMOD), d’enquêtes ou de données de contact. Prem et al. 2021 ont utilisé les données POLYMOD dans le cadre d’un modèle hiérarchique bayésien pour projeter les matrices de contact de 177 autres pays.

Analyses avec des matrices de contact

On peut utiliser les matrices de contact pour effectuer de nombreuses analyses épidémiologiques différentes :

  • pour calculer le nombre de reproduction de base tout en tenant compte des différents taux de contacts entre les groupes d’âge (Funk et al. 2019),
  • pour calculer la taille finale d’une épidémie, comme dans le package R finalsize,
  • pour évaluer l’impact des interventions en déterminant le changement relatif entre les matrices de contact avant et après l’intervention pour calculer la différence relative dans le nombre de cas. \(R_0\) (Jarvis et al. 2020),
  • et dans les modèles mathématiques de transmission au sein d’une population, afin de tenir compte des schémas de contact propres à chaque groupe.

Cependant, toutes ces applications nous obligent à effectuer des calculs supplémentaires à l’aide de la matrice de contact. Plus précisément, nous devons souvent effectuer deux calculs principaux :

  1. Convertir la matrice de contact en nombre attendu de cas secondaires

Si les contacts varient entre les groupes, le nombre moyen de cas secondaires ne sera pas simplement égal au nombre moyen de contacts multiplié par la probabilité de transmission par contact. En effet, la quantité moyenne de transmission dans chaque génération d’infection ne dépend pas seulement des personnes avec lesquelles un groupe est entré en contact, mais aussi des personnes avec lesquelles ces contacts sont ensuite entrés en contact. La fonction r_eff dans le package finalsize peut effectuer cette conversion, en prenant une matrice de contact, la démographie et la proportion de personnes sensibles et en la convertissant en une estimation du nombre moyen de cas secondaires générés par un individu infectieux typique (c’est-à-dire le nombre de reproduction effectif).

  1. Convertir la matrice des contacts en taux de contact

Alors qu’une matrice de contacts donne le nombre moyen de contacts qu’un groupe a avec un autre, la dynamique épidémique dans différents groupes dépend du taux auquel un groupe en infecte un autre. Nous devons donc mettre à l’échelle le taux d’interaction entre les différents groupes (c’est-à-dire le nombre de contacts par unité de temps) pour obtenir le taux de transmission. Cependant, nous devons veiller à définir correctement la transmission vers et depuis chaque groupe dans n’importe quel modèle. Plus précisément, l’entrée \((i,j)\) dans la matrice des contacts d’un modèle mathématique représente les contacts du groupe \(i\) avec le groupe \(j\). Mais si nous voulons connaître le taux auquel un groupe \(i\) est infecté, nous devons multiplier le nombre de contacts des personnes sensibles dans le groupe \(i\) (\(S_i\)) avec le groupe \(j\) ( $C [i,j] \() avec la proportion de ces contacts qui sont infectieux (\)I_j/N_j\() et le risque de transmission par contact (\)$).

Dans les modèles mathématiques

Considérons le modèle SIR dans lequel les individus sont catégorisés comme étant soit sensibles \(S\), infectés mais pas encore infectieux \(E\), contagieux \(I\), ou guéri \(R\). Le schéma ci-dessous montre les processus qui décrivent le flux d’individus entre les différents états \(S\), \(I\) et \(R\) et les paramètres clés de chaque processus.

Les équations différentielles ci-dessous décrivent comment les individus passent d’un état à un autre (Bjørnstad et al. 2020).

\[ \begin{aligned} \frac{dS}{dt} & = - \beta S I /N \ \frac{dI}{dt} &= \beta S I /N - \gamma I \ \frac{dR}{dt} &=\gamma I \ \end{aligned} \] Pour ajouter une structure d’âge à notre modèle, nous devons ajouter des équations supplémentaires pour les états d’infection \(S\), \(I\) et \(R\) pour chaque groupe d’âge \(i\). Si nous voulons supposer qu’il existe une hétérogénéité dans les contacts entre les groupes d’âge, nous devons adapter le terme de transmission \(\beta SI\) pour inclure la matrice de contact \(C\) comme suit :

\[ \beta S_i \sum_j C_{i,j} I_j/N_j. \]

Individus susceptibles dans le groupe d’âge \(i\) sont infectés en fonction de leur taux de contact avec les individus de chaque groupe d’âge. Pour chaque état (\(S\), \(E\), \(I\) et \(R\)) et le groupe d’âge (\(i\)), nous avons une équation différentielle décrivant le taux de changement par rapport au temps.

\[ \begin{aligned} \frac{dS_i}{dt} & = - \beta S_i \sum_j C_{i,j} I_j/N_j \ \frac{dI_i}{dt} &= \beta S_i\sum_j C_{i,j} I_j/N_j - \gamma I_i \ \frac{dR_i}{dt} &=\gamma I_i \ \end{aligned} \]

La normalisation de la matrice des contacts pour garantir la valeur correcte de \(R_0\)

Lors de la simulation d’une épidémie, nous voulons souvent nous assurer que le nombre moyen de cas secondaires générés par un individu infectieux typique (c’est-à-dire \(R_0\)) soit cohérent avec les valeurs connues pour le pathogène que nous analysons. Dans le modèle ci-dessus, nous mettons à l’échelle la matrice des contacts par le facteur \(\beta\) pour convertir les données brutes d’interaction en taux de transmission. Mais comment définir la valeur de \(\beta\) pour garantir une certaine valeur de \(R_0\)?

Plutôt que d’utiliser le nombre brut de contacts, nous pouvons normaliser la matrice des contacts afin de faciliter le travail en termes de \(R_0\). En particulier, nous normalisons la matrice en la mettant à l’échelle de sorte que si nous devions calculer le nombre moyen de cas secondaires sur la base de cette matrice normalisée, le résultat serait 1 (en termes mathématiques, nous mettons la matrice à l’échelle de sorte que la plus grande valeur propre soit 1). Cette transformation met à l’échelle les entrées mais préserve leurs valeurs relatives.

Dans le cas du modèle ci-dessus, nous voulons définir \(\beta C_{i,j}\) afin que le modèle ait une valeur spécifiée de \(R_0\). Si l’entrée de la matrice de contact $C [i,j] $ représente les contacts de la population \(i\) avec \(j\), il est équivalent à contact_data$matrix[i,j] et la valeur propre maximale de cette matrice représente l’ampleur typique des contacts, et non l’ampleur typique de la transmission. Nous devons donc normaliser la matrice \(C\) de manière à ce que la valeur propre maximale soit égale à un ; nous appelons cette matrice \(C_{normalised}\). Comme le taux de récupération est \(\gamma\), les individus seront infectieux en moyenne pendant \(1/\gamma\) jours. Ainsi, \(\beta\) en tant qu’entrée du modèle est calculée à partir de \(R_0\), le facteur d’échelle, et la valeur de \(\gamma\) (c’est-à-dire que, mathématiquement, nous utilisons le fait que la valeur propre dominante de la matrice \(R_0 \times C_{normalised}\) est égale à \(\beta / \gamma\)).

R 

contact_matrix <- t(contact_data$matrix)
scaling_factor <- 1 / max(eigen(contact_matrix)$values)
normalised_matrix <- contact_matrix * scaling_factor

Par conséquent, si nous multiplions la matrice mise à l’échelle par \(R_0\) puis la multiplions en nombre de cas secondaires attendus, nous obtenons \(R_0\), comme requis.

R 

infectious_period <- 7.0
basic_reproduction <- 1.46
transmission_rate <- basic_reproduction * scaling_factor / infectious_period
# check the dominant eigenvalue of R0 x C_normalised is R0
max(eigen(basic_reproduction * normalised_matrix)$values)

SORTIE 

[1] 1.46

Normalisation à l’aide de socialmixr

La normalisation peut être effectuée par la fonction contact_matrix() dans socialmixr. Pour obtenir la matrice normalisée, nous devons spécifier que nous voulons séparer les différentes composantes de la matrice de contact à l’aide de l’argument split = TRUE. Nous pouvons alors obtenir la matrice normalisée de la manière suivante :

R 

contact_data_split <- contact_matrix(
  survey = polymod,
  countries = "United Kingdom",
  age.limits = c(0, 20, 40),
  symmetric = TRUE,
  split = TRUE
)

# extraire les composants de la matrice de contact
contacts_d <- contact_data_split$contacts
matrix_a <- contact_data_split$matrix
demography_n <- contact_data_split$demography$proportion

# calculer la matrice normalisée
normalised_matrix_split <- contacts_d * matrix_a * demography_n

Pour plus de détails sur les différentes composantes de la matrice de contact, voir la vignette du package sur la division des matrices de contact.

Vérifiez la dimension de \(\beta\)

Dans le modèle SIR sans structure d’âge, le taux de contact fait partie du taux de transmission. \(\beta\) alors que dans le modèle avec structure d’âge, nous avons séparé le taux de contact, et donc le taux de transmission. Pour cette raison, \(\beta\) dans le modèle structuré par âge aura une valeur différente.

Nous pouvons utiliser les matrices de contact de socialmixr avec des modèles mathématiques dans le package R {epidemics}. Regarder le tutoriel Simuler la transmission pour des exemples et une introduction à epidemics.

Groupes de contact

Dans l’exemple ci-dessus, la dimension de la matrice de contact sera la même que le nombre de groupes d’âge, c’est-à-dire que s’il y a 3 groupes d’âge, la matrice de contact aura 3 lignes et 3 colonnes. Les matrices de contact peuvent être utilisées pour d’autres groupes, à condition que la dimension de la matrice corresponde au nombre de groupes.

Par exemple, nous pourrions avoir un méta-modèle de population avec deux zones géographiques. Notre matrice de contact serait alors une matrice 2 x 2 dont les entrées représenteraient les contacts entre les zones géographiques et à l’intérieur de celles-ci.

Résumé

Dans ce tutoriel, nous avons appris la définition de la matrice de contact, comment elle est estimée et comment accéder aux données de contact social à partir de socialmixr. Dans le prochain tutoriel, nous apprendrons à utiliser le package R {epidemics} pour générer des trajectoires de maladies à partir de modèles mathématiques avec des matrices de contact provenant de socialmixr.

Points clés

  • Les matrices de contact quantifient les schémas de mélange entre différents groupes de population.
  • socialmixr fournit des outils pour estimer les matrices de contact à partir de données d’enquête
  • Les matrices de contact peuvent être utilisées dans diverses analyses épidémiologiques, qu’il s’agisse du du calcul de \(R_0\) à la modélisation des interventions.
  • Une normalisation adéquate est cruciale lors de l’utilisation des matrices de contact dans les modèles de transmission.

Content from Simulation de la transmission

Dernière mise à jour le 2025-11-20 | Modifier cette page

Durée estimée : 75 minutes

Vue d'ensemble

Questions

  • Comment simuler la propagation d’une maladie à l’aide d’un modèle mathématique ?
  • Quels sont les données nécessaires à la simulation d’un modèle ?
  • Comment tenir compte de l’incertitude ?

Objectifs

  • Chargez une structure de modèle existante à partir de la librairie {epidemics}
  • Chargez une matrice de contacts sociaux existante avec socialmixr
  • Générer une simulation de modèle de propagation d’une maladie avec {epidemics}
  • Générer des simulations de plusieurs modèles et visualiser l’incertitude

Pré-requis

Les apprenants doivent se familiariser avec les concepts suivants pour mieux comprendre les notions abordées dans ce cours.

Modélisation mathématique : Introduction aux modèles de maladies infectieuses, variables d’état, paramètres du modèle, conditions initiales, équations différentielles.

Théorie des épidémies : Transmission, Nombre de reproduction.

R packages installés: {epidemics}, socialmixr, tidyverse.

Installer les packages si elles ne le sont pas déjà:

R 

if (!base::require("pak")) install.packages("pak")
pak::pak(c("epiverse-trace/epidemics", "socialmixr", "scales", "tidyverse"))

Si vous recevez un message d’erreur, rendez-vous sur la page principale de configuration.

Introduction

Les modèles mathématiques sont des outils essentiels pour générer des trajectoires futures de propagation de maladies. a librairie {epidemics} de R contient des fonctionnalités que nous allons utiliser dans ce tutoriel pour générer des trajectoires de maladie d’une souche de grippe à potentiel pandémique. À la fin de ce tutoriel, vous serez en mesure de générer les trajectoires illustrées ci-dessous, montrant le nombre d’individus infectieux dans différentes catégories d’âge au cours du temps.

Dans les sections qui vont suivrent, nous allons apprendre à utiliser la librairie {epidemics} pour simuler des trajectoires d’une maladie et à accéder aux données de contacts sociaux à travers le package socialmixr. Nous utiliserons dplyr, ggplot2 et l’opérateur pipe (%>%) de la librairie magrittr pour relier certaines de leurs fonctions. Ainsi, nous chargerons la librairie tidyverse qui contient l’ensemble de ces trois packages.

R 

library(epidemics)
library(socialmixr)
library(tidyverse)

Use slides to introduce the topics of:

  • Scenario modelling and
  • Contact matrix.

Then start with the livecoding.

Simuler la propagation d’une maladie

Pour simuler les trajectoires des maladies infectieuses, il faut d’abord choisir un modèle mathématique. La librairie {epidemics} contient une bibliothèque de modèles parmi lesquels vous pouvez choisir celui qui conviendrai à la maladie d’intéret. Les noms de ces modèles commencent par model_* et se terminent par le nom de la maladie (par exemple model_ebola pour Ebola) ou d’un identifiant différent (par exemple model_default).

Dans ce tutoriel, nous utiliserons le modèle par défaut appelé model_default() de la librairie {epidemics}. Il s’agit d’un modèle structuré par âge qui classe les individus en fonction de leur statut infectieux. Dans chaque groupe d’âge \(i\) les individus sont classés dans les compartiments suivants: sensibles \(S\), infectés mais pas encore contagieux \(E\), infectieux \(I\) et guéris \(R\). Nous devons ensuite définir le processus par lequel les individus passent d’un compartiment à l’autre. Cela peut se faire en définissant un ensemble d’ équations différentielles qui spécifient comment le nombre d’individus dans chaque compartiment évolue dans le temps.

Le schéma ci-dessous montre les processus qui décrivent le flux d’individus entre les états pathologiques \(S\), \(E\), \(I\) et \(R\) et les paramètres clés de chaque processus.

Paramètres du modèle : les taux

Dans les modèles au niveau de la population définis par des équations différentielles, les paramètres du modèle sont souvent (mais pas toujours) spécifiés sous forme de taux. Le taux auquel un événement se produit est l’inverse du temps moyen jusqu’à cet événement. Par exemple, dans le modèle SEIR, le taux de guérrison \(\gamma\) est l’inverse de la période infectieuse moyenne.

Les valeurs de ces taux peuvent être déterminées à partir de l’histoire naturelle de la maladie. Par exemple, si les personnes sont en moyenne infectieuses pendant 8 jours, alors dans le modèle, une personnes sur huits (1/8) actuellement infectieuses se rétablissent chaque jour (c’est-à-dire le taux de guèrrison \(\gamma=1/8=0.125\)).

Pour chaque état pathologique (\(S\), \(E\), \(I\) et \(R\)) dans le groupe d’âge (\(i\)), nous avons une équation différentielle décrivant le taux de changement par rapport au temps.

\[ \begin{aligned} \frac{dS_i}{dt} & = - \beta S_i \sum_j C_{i,j} I_j/N_j \\ \frac{dE_i}{dt} &= \beta S_i\sum_j C_{i,j} I_j/N_j - \alpha E_i \\ \frac{dI_i}{dt} &= \alpha E_i - \gamma I_i \\ \frac{dR_i}{dt} &=\gamma I_i \\ \end{aligned} \]

Les individus de la tranche d’âge (\(i\)) quittent l’état sensible (\(S_i\)) pour l’état exposé (\(E_i\)) par le biais de contacts spécifiques à l’âge avec des individus infectieux dans tous les groupes \(\beta S_i \sum_j C_{i,j} I_j/N_j\). La matrice de contact \(C\) permet de tenir compte de l’hétérogénéité des contacts entre les groupes d’âge. Ils passent ensuite à l’état infectieux à un taux \(\alpha\) et se rétablissent à un taux \(\gamma\). Notez que ce modèle suppose qu’il n’y a pas de perte d’immunité (il n’y a pas de flux sortant de l’état de guérison), ce qui peut ne pas être le cas pour toutes les maladies, car certains individus guerris peuvent redevenir infectés à la suite de leur guérison dans la cadre de certaines maladies.

Les paramètres du modèle sont les suivants

  • taux de transmission \(\beta\) (dérivé du nombre de reproduction de base \(R_0\) et du taux de guérison \(\gamma\)),
  • matrice de contact \(C\) contenant la fréquence des contacts entre les groupes d’âge (une matrice carrée \(i \times j\)),
  • le taux d’infectiosité \(\alpha\) (période pré-infectieuse, ou période de latence =\(1/\alpha\)), et
  • taux de guérison \(\gamma\) (période infectieuse = \(1/\gamma\)).

Exposé, infecté, infectieux

Les termes “exposé”, “infecté” et “infectieux” dans la modélisation mathématique prêtent parfois à confusion. L’infection se produit après qu’une personne a été exposée, mais en termes de modélisation, les individus “exposés” sont considérés comme déjà infectés.

Nous utiliserons les définitions suivantes pour nos variables d’état :

  • \(E\) = Exposé : infecté mais pas encore infectieux,
  • \(I\) = infectieux : infecté et infectieux.

Pour générer des trajectoires à l’aide de notre modèle, nous devons préparer les données d’entrée suivantes :

  1. Matrice de contact
  2. Conditions initiales
  3. Structure de la population
  4. Paramètres du modèle

1. Matrice de contact

Une matrice de contacts représente le nombre moyen de contacts entre les individus de différents groupes d’âge. Il s’agit d’une composante essentielle des modèles structurés par âge, car elle permet de savoir la manière dont les différents groupes d’âge interagissent et se transmettent potentiellement l’infections. Nous utiliserons le package R socialmixr pour charger une matrice de contacts estimée à partir des données de l’enquête POLYMOD (Mossong et al. 2008).

Charger les données de contact et de démographie

En utilisant la librairie socialmixr, obtenir la matrice de contact du Royaume-Uni pour les tranches d’âge suivantes :

  • âge entre 0 et 20 ans,
  • âge compris entre 20 et 40 ans,
  • 40 ans et plus.

Utilisez le sondage disponible sur socialmixr::polymod.

R 

# Access the contact survey data
polymod <- socialmixr::polymod

# Generate the contact matrix
contact_data <- socialmixr::contact_matrix(
  polymod,
  countries = "United Kingdom",
  age.limits = c(0, 20, 40),
  symmetric = TRUE
)

# prepare contact matrix
socialcontact_matrix <- t(contact_data$matrix)

# print
socialcontact_matrix

SORTIE 

                 age.group
contact.age.group   [0,20)  [20,40)      40+
          [0,20)  7.883663 2.794154 1.565665
          [20,40) 3.120220 4.854839 2.624868
          40+     3.063895 4.599893 5.005571

N’oubliez pas que la matrice satisfait à la condition symmetric = TRUE au niveau du nombre total de contacts.

Le nombre total de contacts entre les groupes \(i\) et \(j\) est calculé comme étant le nombre moyen de contacts (contact_data$matrix) multiplié par le nombre d’individus dans le groupe \(i\) (contact_data$demography$population).

R 

contact_data$matrix * contact_data$demography$population

SORTIE 

         contact.age.group
age.group    [0,20)  [20,40)       40+
  [0,20)  116672620 46177038  45343471
  [20,40)  46177038 80232531  76019216
  40+      45343471 76019216 144967139

Le résultat est une matrice carrée avec des lignes et des colonnes pour chaque groupe d’âge. Les matrices de contact peuvent être chargées à partir d’autres sources, mais elles doivent être formatées de sorte à être utilisées par les fonctions de la librairies {epidemics}.

Normalisation

Dans le cadre de {epidemics} la normalisation de la matrice de contact se fait durant l’appel de la fonction, nous n’avons donc pas besoin de normaliser la matrice de contact avant de la passer à la fonction epidemics::population() (voir section 3. Structure de la population). Pour plus de détails sur la normalisation, consultez le tutoriel sur les matrices de contact .

Make a pause.

Use slides to introduce the topics of:

  • Initial conditions and
  • Population structure.

Then continue with the livecoding.

2. Conditions initiales

Les conditions initiales sont la proportion d’individus dans chaque état pathologique \(S\), \(E\), \(I\) et \(R\) pour chaque groupe d’âge au temps 0. Dans cet exemple, nous avons trois groupes d’âge : âge entre 0 et 20 ans, âge entre 20 et 40 ans et plus. Supposons que dans la catégorie d’âge la plus jeune, un individu sur un million soit infectieux, et que les autres catégories d’âge soient exemptes d’infection.

Les conditions initiales dans la première catégorie d’âge sont les suivantes \(S(0)=1-\frac{1}{1,000,000}\), \(E(0) =0\), \(I(0)=\frac{1}{1,000,000}\), \(R(0)=0\). Il est spécifié sous la forme d’un vecteur comme suit :

R 

# 1 in 1,000,000 is equivalent to 1e-6
initial_i <- 1e-6
initial_conditions_inf <- c(
  S = 1 - initial_i, E = 0, I = initial_i, R = 0, V = 0
)

Notez que R utilise la notation scientifique e, où e vous indique de multiplier le nombre de base par 10 élevé à la puissance indiquée (DataKwery, 2020). L’expression \(1 \times 10^{-6}\) équivaut à 1e-6.

Pour les catégories d’âge exemptes d’infection, les conditions initiales sont les suivantes \(S(0)=1\), \(E(0) =0\), \(I(0)=0\), \(R(0)=0\). Nous spécifions ceci comme suit,

R 

initial_conditions_free <- c(
  S = 1, E = 0, I = 0, R = 0, V = 0
)

Nous combinons les trois vecteurs de conditions initiales en une seule matrice,

R 

# combiner les conditions initiales dans un objet de classe matricielle
initial_conditions <- rbind(
  initial_conditions_inf, # groupe d'age 1 (seul groupe infectieux)
  initial_conditions_free, # groupe d'age 2
  initial_conditions_free # groupe d'age 3
)

# utiliser la matrice de contact pour renommer les noms de lignes de la matrice
# des conditions initiales
rownames(initial_conditions) <- rownames(socialcontact_matrix)
initial_conditions

SORTIE 

               S E     I R V
[0,20)  0.999999 0 1e-06 0 0
[20,40) 1.000000 0 0e+00 0 0
40+     1.000000 0 0e+00 0 0

3. Structure de la population

L’objet de la classe nécessite un vecteur contenant la structure démographique de la population. Le vecteur démographique doit être un vecteur nommé contenant le nombre d’individus dans chaque groupe d’âge de la population d’intéret. Dans cet exemple, nous pouvons extraire les données démographiques du vecteur contact_data que nous avons obtenu à l’aide de la librairie socialmixr.

R 

# extraire le vecteur démographique
demography_vector <- contact_data$demography$population

# utiliser la matrice de contact pour renommer les noms
# des lignes du vecteur démographique
names(demography_vector) <- rownames(socialcontact_matrix)
demography_vector

SORTIE 

  [0,20)  [20,40)      40+
14799290 16526302 28961159

Pour créer notre objet de classe à partir de la librairie {epidemics}, nous utiliserons la fonction epidemics::population() en spécifiant le nom du pays, la matrice de contact, le vecteur démographique et les conditions initiales.

R 

library(epidemics)

uk_population <- epidemics::population(
  name = "UK",
  contact_matrix = socialcontact_matrix,
  demography_vector = demography_vector,
  initial_conditions = initial_conditions
)

Make a pause.

Use slides to introduce the topics of:

  • Model parameters and
  • New infections.

Then continue with the livecoding.

4. Paramètres du modèle

Pour exécuter notre modèle, nous devons spécifier les paramètres :

  • le taux de transmission \(\beta\),
  • taux d’infectiosité \(\alpha\) (période préinfectieuse=\(1/\alpha\)),
  • taux de guérison \(\gamma\) (période infectieuse=\(1/\gamma\)).

Dans {epidemics} nous spécifions les paramètres du modèle comme étant :

  • transmission_rate \(\beta = R_0 \gamma\),
  • infectiousness_rate = \(\alpha\),
  • recovery_rate = \(\gamma\),

Nous simulerons une souche de grippe à potentiel pandémique ayant les caractéristiques suivantes \(R_0=1.46\) avec une période pré-infectieuse de 3 jours et une période infectieuse de 7 jours. Nos données d’entrée seront donc les suivantes

R 

# les délais
preinfectious_period <- 3.0
infectious_period <- 7.0
basic_reproduction <- 1.46

R 

# les taux
infectiousness_rate <- 1.0 / preinfectious_period
recovery_rate <- 1.0 / infectious_period
transmission_rate <- basic_reproduction / infectious_period

Le nombre de reproduction de base \(R_0\)

Le nombre de reproduction de base, \(R_0\) pour le modèle SEIR est le suivant :

\[ R_0 = \frac{\beta}{\gamma}.\]

Par conséquent, nous pouvons réécrire le taux de transmission \(\beta\) comme suit :

\[ \beta = R_0 \gamma.\]

Exécution du modèle

Exécution (résolution) du modèle

Pour les modèles décrits par les équations différentielles, “exécuter” le modèle signifie en fait prendre le système d’équations différentielles et le “résoudre” pour découvrir comment le nombre de personnes dans les compartiments sous-jacents évolue dans le temps. Étant donné que les équations différentielles décrivent le taux de changement des états pathologiques en fonction du temps, plutôt que le nombre d’individus dans chacun de ces états, nous devons généralement utiliser des méthodes numériques pour résoudre les équations.

Un solveur ODE est le logiciel utilisé pour trouver des solutions numériques aux équations différentielles. Si vous souhaitez savoir comment un système d’équations différentielles est résolu dans {epidemics} nous vous suggérons de lire la section sur Systèmes et modèles d’EDO de la vignette “Design principles”.

Nous sommes maintenant prêts à exécuter notre modèle en utilisant epidemics::model_default() de la librairies {epidemics}.

Précisons time_end=600 pour exécuter le modèle pendant 600 jours.

R 

output <- epidemics::model_default(
  # population
  population = uk_population,
  # les taux
  transmission_rate = transmission_rate,
  infectiousness_rate = infectiousness_rate,
  recovery_rate = recovery_rate,
  # duree de l'épidémie
  time_end = 600,
  increment = 1.0
)
head(output)

SORTIE 

    time demography_group compartment    value
   <num>           <char>      <char>    <num>
1:     0           [0,20) susceptible 14799275
2:     0          [20,40) susceptible 16526302
3:     0              40+ susceptible 28961159
4:     0           [0,20)     exposed        0
5:     0          [20,40)     exposed        0
6:     0              40+     exposed        0

Remarque : ce modèle permet également d’inclure la vaccination et de suivre le nombre d’individus vaccinés au fil du temps. Même si nous n’avons pas spécifié de vaccination, il y a toujours un compartiment vacciné dans le résultat (ne contenant aucun individu). Nous aborderons l’utilisation de la vaccination dans le prochain tutoriel.

Le résultat de notre modèle est le nombre d’individus dans chaque compartiment de chaque groupe d’âge au cours du temps. Nous pouvons visualiser uniquement les individus infectieux (ceux qui se trouvent dans le compartiment \(I\)) au cours du temps.

R 

library(tidyverse)

output %>%
  filter(compartment == "infectious") %>%
  ggplot() +
  geom_line(
    aes(
      x = time,
      y = value,
      colour = demography_group
    )
  ) +
  scale_y_continuous(
    labels = scales::comma
  ) +
  theme_bw() +
  labs(
    x = "Durée de la simulation (en jours)",
    linetype = "Compartiment",
    y = "nombre d'invidus"
  )

Incréments de temps

Notez qu’il existe une valeur par défaut de l’argument increment = 1. Il s’agit du pas de temps du solveur ODE. Lorsque les paramètres sont spécifiés sur une échelle de temps quotidienne et la limite de temps (time_end) est de jours, le pas de temps par défaut du solveur ODE est d’un jour.

Le choix de l’incrément dépend de l’échelle de temps des paramètres et de la vitesse à laquelle les événements peuvent se produire. En général, l’incrément doit être plus petit que l’événement le plus rapide qui puisse se produire. Par exemple, l’incrément doit être plus petit que l’événement le plus rapide qui peut se produire :

  • si les paramètres se situent sur une échelle de temps quotidienne et que tous les événements sont signalés quotidiennement, l’incrément doit être égal à un jour ;
  • si les paramètres se situent sur une échelle de temps mensuelle, mais que certains événements se produisent au cours d’un mois, l’incrément doit être inférieur à un mois.

Témoignage

Deux fonctions d’aide dans {epidemics}

Utilisez epidemics::epidemic_peak() pour obtenir l’heure et la taille du pic le plus élevé d’un compartiment pour tous les groupes démographiques. Par défaut, cela calculera pour le compartiment infectieux.

R 

epidemics::epidemic_peak(data = output)

SORTIE 

   demography_group compartment  time    value
             <char>      <char> <num>    <num>
1:           [0,20)  infectious   315 651944.3
2:          [20,40)  infectious   319 625863.8
3:              40+  infectious   322 858259.1

Utilisez epidemics::epidemic_size() pour obtenir la taille de l’épidémie à n’importe quel stade entre le début et la fin. Celle-ci est calculée comme le nombre d’individus guéris de l’infection à ce stade de l’épidémie.

R 

epidemics::epidemic_size(data = output)

SORTIE 

[1]  9285873  9040679 12540088

Ces fonctions de synthèse peuvent vous aider à obtenir des résultats pertinents pour comparer des scénarios ou pour toute autre analyse en aval.

La figure ci-dessus montre le nombre total ou le nombre cumulé d’individus dans le compartiment infectieux à chaque instant. Si vous souhaitez montrer la charge totale de la maladie, le compartiment infectious est le plus approprié. En revanche, si vous souhaitez montrer la charge quotidienne, vous pouvez utiliser epidemics::new_infections() pour obtenir l’incidence quotidienne.

Notez que le nombre de nouveaux cas infectés à chaque instant (comme dans la figure ci-dessous) est inférieur au nombre cumulé de personnes infectieuses à chaque instant (comme dans la figure ci-dessus).

R 

# New infections
newinfections_bygroup <- epidemics::new_infections(data = output)

# Visualise the spread of the epidemic in terms of new infections
newinfections_bygroup %>%
  ggplot(aes(x = time, y = new_infections, colour = demography_group)) +
  geom_line() +
  scale_y_continuous(
    breaks = scales::breaks_pretty(n = 5),
    labels = scales::comma
  ) +
  theme_bw()

Stop the livecoding.

Suggest learners to read the rest of the episode.

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Prise en compte de l’incertitude

Le modèle épidémique est déterministe, c’est-à-dire qu’il fonctionne comme une horloge : les mêmes paramètres conduiront toujours à la même trajectoire. Un modèle déterministe est un modèle dont le résultat est entièrement déterminé par les conditions et les paramètres initiaux, sans aucune variation aléatoire. Cependant, la réalité n’est pas aussi prévisible à cause de ces deux raisons principales : le processus de transmission peut être aléatoire et nous pouvons ne pas connaître les caractéristiques épidémiologiques exactes de l’agent pathogène qui nous intéresse. Dans le prochain épisode, nous examinerons les modèles “stochastiques” (c’est-à-dire les modèles dans lesquels nous pouvons définir le processus qui crée un caractère aléatoire dans la transmission). Entre-temps, nous pouvons inclure l’incertitude dans la valeur des paramètres qui entrent dans le modèle déterministe. Pour tenir compte de cette incertitude, nous devons exécuter notre modèle pour différentes combinaisons de paramètres.

Nous avons exécuté notre modèle avec \(R_0 = 1.5\). Cependant, nous pensons que \(R_0\) suit une distribution normale avec une moyenne de 1,5 et un écart-type de 0,05. Pour tenir compte de l’incertitude, nous exécuterons le modèle pour différentes valeurs de \(R_0\). Les étapes à suivre pour ce faire sont les suivantes :

  1. Obtenir 100 valeurs aléatoires de \(R_0\) à partir d’une distribution normale.

R 

# spécifier la moyenne et l'écart-type de R0
r_estimate_mean <- 1.5
r_estimate_sd <- 0.05

# Générer 100 R0 de façon aléatoire
r_samples <- withr::with_seed(
  seed = 1,
  rnorm(
    n = 100, mean = r_estimate_mean, sd = r_estimate_sd
  )
)

infectious_period <- 7
beta <- r_samples / infectious_period
  1. Exécutez le modèle 100 fois en variant \(R_0\) à chaque itération

R 

output_samples <- epidemics::model_default(
  population = uk_population,
  transmission_rate = beta,
  infectiousness_rate = infectiousness_rate,
  recovery_rate = recovery_rate,
  time_end = 600,
  increment = 1
)
  1. Calculez la moyenne et les quantiles à 95 % du nombre d’individus infectieux pour chaque simulation du modèle et visualisez les résultats.

R 

output_samples %>%
  mutate(r_value = r_samples) %>%
  unnest(data) %>%
  filter(compartment == "infectious") %>%
  ggplot() +
  geom_line(
    aes(time, value, color = r_value, group = param_set),
    alpha = 3
  ) +
  scale_color_fermenter(
    palette = "RdBu",
    name = "R"
  ) +
  scale_y_continuous(
    labels = scales::comma
  ) +
  facet_grid(
    cols = vars(demography_group)
  ) +
  theme_bw() +
  labs(
    x = "Durée de simulation (en jours)",
    y = "Nombre d'individus"
  )

Le choix des paramètres dans lesquels inclure l’incertitude dépend de plusieurs facteurs : le degré d’information sur la valeur d’un paramètre, par exemple la cohérence des estimations tirées de la littérature ; la sensibilité des résultats du modèle aux changements de valeur des paramètres ; et l’objectif de la tâche de modélisation. Voir aussi McCabe et al. 2021 pour en savoir plus sur les différents types d’incertitude dans la modélisation des maladies infectieuses.

Résumé

Dans ce tutoriel, nous avons appris à simuler la propagation d’une maladie à l’aide d’un modèle mathématique. Une fois qu’un modèle a été choisi, les paramètres et autres données d’entrées doivent être spécifiés de manière correcte pour effectuer les simulations du modèle. Dans le prochain tutoriel, nous verrons comment choisir le modèle approprié pour différentes tâches.

Points clés

  • Les trajectoires de la maladie peuvent être générées à l’aide du package {epidemics} de R.
  • L’incertitude devrait être incluse dans les trajectoires du modèle en utilisant une gamme de valeurs des paramètres du modèle.

Content from Modélisation des interventions

Dernière mise à jour le 2025-11-18 | Modifier cette page

Durée estimée : 75 minutes

Vue d'ensemble

Questions

  • Comment étudier l’effet des interventions sur les trajectoires des maladies ?

Objectifs

  • Ajoutez les interventions pharmaceutiques et non pharmaceutiques à la liste des interventions de l’UE. {epidemics} modèle

Pré-requis

Les apprenants doivent également se familiariser avec les dépendances des concepts suivants avant de travailler sur ce tutoriel :

Réponse à l’épidémie : Types d’intervention.

Introduction

Les modèles mathématiques peuvent être utilisés pour générer des trajectoires de propagation de maladies dans le cadre de la mise en œuvre d’interventions à différents stades d’une épidémie. Ces trajectoires peuvent être utilisées pour prendre des décisions sur les interventions à mettre en œuvre pour ralentir la propagation des maladies.

Les interventions sont généralement incorporées dans les modèles mathématiques en manipulant les valeurs des paramètres pertinents, par exemple la réduction de la transmission, ou en introduisant un nouvel état de la maladie, par exemple la classe vaccinée, où nous supposons que les individus qui appartiennent à cette classe ne sont plus susceptibles d’être infectés.

Dans ce tutoriel, nous apprendrons à utiliser les outils suivants {epidemics} pour modéliser les interventions et l’accès aux données de contact social avec socialmixr. Nous utiliserons dplyr, ggplot2 et le tuyau %>% pour relier certaines de leurs fonctions, alors appelons aussi tidyverse:

R 

library(epidemics)
library(socialmixr)
library(tidyverse)

Dans ce tutoriel, différents types d’intervention et la manière dont ils peuvent être modélisés sont présentés. Les apprenants devraient être en mesure de comprendre le mécanisme sous-jacent de ces interventions (par exemple, réduire le taux de contact) ainsi que la manière d’implémenter le code pour inclure de telles interventions.

Interventions non pharmaceutiques

Interventions non pharmaceutiques Les interventions non pharmaceutiques (INP) sont des mesures mises en place pour réduire la transmission qui n’incluent pas l’administration de médicaments ou de vaccins. Les IPN visent à réduire les contacts entre les personnes infectieuses et les personnes sensibles en fermant les écoles et les lieux de travail et en prenant d’autres mesures pour empêcher la propagation de la maladie, par exemple en se lavant les mains et en portant des masques.

Nous étudierons l’effet des interventions sur une épidémie de COVID-19 à l’aide d’un modèle SEIR (model_default() dans le paquetage R {epidemics}). Le modèle SEIR divise la population en quatre compartiments : Susceptible (S), Exposé (E), Infectieux (I) et Rétabli (R). Nous définirons les paramètres suivants pour notre modèle : \(R_0 = 2.7\) (nombre de reproduction de base), période de latence ou période pré-infectieuse \(= 4\) jours, et la période infectieuse \(= 5.5\) jours (paramètres adaptés de Davies et al. (2020)). Nous adoptons une matrice de contact avec des tranches d’âge 0-18, 18-65, 65 ans et plus en utilisant socialmixr et supposons qu’un individu sur un million dans chaque groupe d’âge est contagieux au début de l’épidémie.

R 

polymod <- socialmixr::polymod
contact_data <- socialmixr::contact_matrix(
  polymod,
  countries = "United Kingdom",
  age.limits = c(0, 15, 65),
  symmetric = TRUE
)

# prepare contact matrix
contact_matrix <- t(contact_data$matrix)

# prepare the demography vector
demography_vector <- contact_data$demography$population
names(demography_vector) <- rownames(contact_matrix)

# initial conditions: one in every 1 million is infected
initial_i <- 1e-6
initial_conditions <- c(
  S = 1 - initial_i, E = 0, I = initial_i, R = 0, V = 0
)

# build for all age groups
initial_conditions <- matrix(
  rep(initial_conditions, dim(contact_matrix)[1]),
  ncol = 5, byrow = TRUE
)
rownames(initial_conditions) <- rownames(contact_matrix)

# prepare the population to model as affected by the epidemic
uk_population <- epidemics::population(
  name = "UK",
  contact_matrix = contact_matrix,
  demography_vector = demography_vector,
  initial_conditions = initial_conditions
)

Effet des fermetures d’écoles sur la propagation de COVID-19

Le premier IPN que nous examinerons est l’effet des fermetures d’écoles sur la réduction du nombre de personnes infectées par COVID-19 au fil du temps. Nous supposons qu’une fermeture d’école réduit la fréquence des contacts au sein des différents groupes d’âge et entre eux. Sur la base d’études empiriques, nous supposons que les fermetures d’écoles réduiront de 50 % les contacts entre enfants d’âge scolaire (0-15 ans) et entraîneront une faible réduction (1 %) des contacts entre adultes (15 ans et plus).

Pour inclure une intervention dans notre modèle, nous devons créer un intervention objet. Les données d’entrée sont le nom de l’intervention (name), le type d’intervention (contacts ou rate), l’heure de début (time_begin), l’heure de fin (time_end) et la réduction (reduction). Les valeurs de la matrice de réduction sont spécifiées dans le même ordre que les groupes d’âge dans la matrice de contact.

R 

rownames(contact_matrix)

SORTIE 

[1] "[0,15)"  "[15,65)" "65+"

Par conséquent, nous spécifions reduction = matrix(c(0.5, 0.01, 0.01)). Nous supposons que les fermetures d’écoles commencent le 50e jour et se poursuivent pendant 100 jours supplémentaires. Notre objet d’intervention est donc :

R 

close_schools <- intervention(
  name = "School closure",
  type = "contacts",
  time_begin = 50,
  time_end = 50 + 100,
  reduction = matrix(c(0.5, 0.01, 0.01))
)

Effet des interventions sur les contacts

Dans le cadre de {epidemics} la matrice des contacts est réduite par des proportions pour la période pendant laquelle l’intervention est en place. Pour comprendre comment la réduction est calculée dans les fonctions du modèle, considérons une matrice de contacts pour deux groupes d’âge avec un nombre égal de contacts :

SORTIE 

     [,1] [,2]
[1,]    1    1
[2,]    1    1

Si la réduction est de 50 % dans le groupe 1 et de 10 % dans le groupe 2, la matrice des contacts pendant l’intervention sera la suivante :

SORTIE 

     [,1] [,2]
[1,] 0.25 0.45
[2,] 0.45 0.81

Les contacts au sein du groupe 1 sont réduits de 50 % deux fois pour tenir compte d’une réduction de 50 % des contacts sortants et entrants (\(1\times 0.5 \times 0.5 = 0.25\)). De même, les contacts au sein du groupe 2 sont réduits deux fois de 10 %. Les contacts entre le groupe 1 et le groupe 2 sont réduits de 50 %, puis de 10 % (\(1 \times 0.5 \times 0.9= 0.45\)).

En utilisant le taux de transmission \(= 2.7/5.5\) (rappelez-vous que taux de transmission = \(R_0\)/ période infectieuse), taux d’infectiosité \(1/= 4\) et le taux de guérison \(= 1/5.5\) nous exécutons le modèle avec intervention = list(contacts = close_schools) comme suit :

R 

# time periods
preinfectious_period <- 4.0
infectious_period <- 5.5
basic_reproduction <- 2.7

# rates
infectiousness_rate <- 1.0 / preinfectious_period
recovery_rate <- 1.0 / infectious_period
transmission_rate <- basic_reproduction / infectious_period

R 

output_school <- model_default(
  # population
  population = uk_population,
  # rate
  transmission_rate = transmission_rate,
  infectiousness_rate = infectiousness_rate,
  recovery_rate = recovery_rate,
  # intervention
  intervention = list(contacts = close_schools),
  # time
  time_end = 300, increment = 1.0
)

Pour être en mesure de voir l’effet de notre intervention, nous exécutons également une variante de base du modèle, c’est-à-dire sans intervention, nous combinons les deux résultats dans un seul cadre de données et nous traçons ensuite le résultat. Ici, nous représentons le nombre total d’individus infectieux dans tous les groupes d’âge en utilisant les données suivantes ggplot2::stat_summary() fonction :

R 

# run baseline simulation with no intervention
output_baseline <- model_default(
  population = uk_population,
  transmission_rate = transmission_rate,
  infectiousness_rate = infectiousness_rate,
  recovery_rate = recovery_rate,
  time_end = 300, increment = 1.0
)

# create intervention_type column for plotting
output_school$intervention_type <- "school closure"
output_baseline$intervention_type <- "baseline"
output <- rbind(output_school, output_baseline)

library(tidyverse)

output %>%
  filter(compartment == "infectious") %>%
  ggplot() +
  aes(
    x = time,
    y = value,
    color = intervention_type,
    linetype = intervention_type
  ) +
  stat_summary(
    fun = "sum",
    geom = "line",
    linewidth = 1
  ) +
  scale_y_continuous(
    labels = scales::comma
  ) +
  geom_vline(
    xintercept = c(
      close_schools$time_begin,
      close_schools$time_end
    ),
    linetype = 2
  ) +
  theme_bw() +
  labs(
    x = "Simulation time (days)",
    y = "Individuals"
  )

Nous pouvons constater qu’avec l’intervention en place, l’infection se propage toujours dans la population et que l’accumulation de l’immunité contribue à l’éventuel pic et déclin. Toutefois, le nombre maximal de personnes infectées est inférieur (ligne pointillée verte) à la ligne de base sans intervention (ligne continue rouge), ce qui montre une réduction du nombre absolu de cas.

Effet du port du masque sur la propagation de COVID-19

Nous pouvons également modéliser l’effet d’autres IPN en réduisant la valeur des paramètres pertinents. Par exemple, étudier l’effet du port du masque sur le nombre de personnes infectées par COVID-19 au fil du temps.

Nous nous attendons à ce que le port d’un masque réduise la contagiosité d’un individu, sur la base de nombreuses études montrant l’efficacité des masques dans la réduction de la transmission. Comme nous utilisons un modèle basé sur la population, nous ne pouvons pas modifier les comportements individuels et nous supposons donc que le taux de transmission \(\beta\) est réduit par une proportion due au port du masque dans la population. Nous spécifions cette proportion, \(\theta\) comme le produit de la proportion de personnes portant un masque multiplié par la proportion de réduction du taux de transmission (adapté de Li et al. 2020).

Nous créons un objet d’intervention avec type = rate et reduction = 0.161. En utilisant des paramètres adaptés de Li et al. 2020 nous avons la proportion de personnes portant des masques = couverture \(\times\) disponibilité = \(0.54 \times 0.525 = 0.2835\) et la proportion de réduction du taux de transmission = \(0.575\). Par conséquent, \(\theta = 0.2835 \times 0.575 = 0.163\). Nous supposons que l’obligation de porter un masque commence au 40e jour et reste en vigueur pendant 200 jours.

R 

mask_mandate <- intervention(
  name = "mask mandate",
  type = "rate",
  time_begin = 40,
  time_end = 40 + 200,
  reduction = 0.163
)

Pour mettre en œuvre cette intervention sur le taux de transmission \(\beta\) nous spécifions intervention = list(transmission_rate = mask_mandate).

R 

output_masks <- model_default(
  # population
  population = uk_population,
  # rate
  transmission_rate = transmission_rate,
  infectiousness_rate = infectiousness_rate,
  recovery_rate = recovery_rate,
  # intervention
  intervention = list(transmission_rate = mask_mandate),
  # time
  time_end = 300, increment = 1.0
)

R 

# create intervention_type column for plotting
output_masks$intervention_type <- "mask mandate"
output_baseline$intervention_type <- "baseline"
output <- rbind(output_masks, output_baseline)

output %>%
  filter(compartment == "infectious") %>%
  ggplot() +
  aes(
    x = time,
    y = value,
    color = intervention_type,
    linetype = intervention_type
  ) +
  stat_summary(
    fun = "sum",
    geom = "line",
    linewidth = 1
  ) +
  scale_y_continuous(
    labels = scales::comma
  ) +
  geom_vline(
    xintercept = c(
      mask_mandate$time_begin,
      mask_mandate$time_end
    ),
    linetype = 2
  ) +
  theme_bw() +
  labs(
    x = "Simulation time (days)",
    y = "Individuals"
  )

Types d’intervention

Il existe deux types d’intervention pour model_default(). Interventions sur les paramètres du modèle (transmission_rate \(\beta\), infectiousness_rate \(\sigma\) et recovery_rate \(\gamma\)) et les réductions des matrices de contact (contacts).

Pour mettre en œuvre les interventions sur les contacts et les taux dans la même simulation, elles doivent être transmises sous la forme d’une liste, par exemple, intervention = list(transmission_rate = mask_mandate, contacts = close_schools). Toutefois, si plusieurs interventions ciblent les taux de contact, elles doivent être transmises sous la forme d’une seule liste. contacts entrée. Voir le vignette sur la modélisation des interventions qui se chevauchent pour plus de détails.

Interventions pharmaceutiques

Les interventions pharmaceutiques (IP) sont des mesures telles que les programmes de vaccination et de traitement de masse. Dans la section précédente, nous avons intégré les interventions dans le modèle en réduisant les valeurs des paramètres pendant une période spécifique de la fenêtre temporelle au cours de laquelle ces interventions doivent avoir lieu. Dans le cas de la vaccination, nous supposons qu’après l’intervention, les individus ne sont plus sensibles et doivent être classés dans un état pathologique différent. Par conséquent, nous spécifions le taux auquel les individus sont vaccinés et suivons le nombre d’individus vaccinés au fil du temps.

Le diagramme ci-dessous montre le modèle SEIRV mis en œuvre à l’aide de model_default() où les individus sensibles sont vaccinés et passent ensuite à l’étape de la vaccination. \(V\) classe.

Les équations décrivant ce modèle sont les suivantes :

\[ \begin{aligned} \frac{dS_i}{dt} & = - \beta S_i \sum_j C_{i,j} I_j/N_j -\nu_{t} S_i \ \frac{dE_i}{dt} &= \beta S_i\sum_j C_{i,j} I_j/N_j - \alpha E_i \ \frac{dI_i}{dt} &= \alpha E_i - \gamma I_i \ \frac{dR_i}{dt} &=\gamma I_i \ \frac{dV_i}{dt} & =\nu_{i,t} S_i\ \end{aligned} \] Les individus de la tranche d’âge (\(i\)) à un moment spécifique dépendant (\(t\)) sont vaccinés à un taux (\(\nu_{i,t}\)). Les autres composantes SEIR de ces équations sont décrites dans le tutoriel simuler la transmission.

Pour étudier l’effet de la vaccination, nous devons créer un objet de vaccination que nous transmettrons en tant qu’entrée à la fonction model_default() qui comprend le taux de vaccination spécifique à chaque groupe d’âge nu et les heures de début et de fin du programme de vaccination spécifiques aux groupes d’âge (time_begin et time_end).

Nous supposerons ici que tous les groupes d’âge sont vaccinés au même taux (0,01) et que le programme de vaccination commence au 40e jour et se poursuit pendant 150 jours.

R 

# prepare a vaccination object
vaccinate <- vaccination(
  name = "vaccinate all",
  time_begin = matrix(40, nrow(contact_matrix)),
  time_end = matrix(40 + 150, nrow(contact_matrix)),
  nu = matrix(c(0.01, 0.01, 0.01))
)

Nous passons notre objet de vaccination dans le modèle en utilisant l’argument vaccination = vaccinate:

R 

output_vaccinate <- model_default(
  # population
  population = uk_population,
  # rate
  transmission_rate = transmission_rate,
  infectiousness_rate = infectiousness_rate,
  recovery_rate = recovery_rate,
  # intervention
  vaccination = vaccinate,
  # time
  time_end = 300, increment = 1.0
)

Comparez les interventions

Représentez sur un même graphique les trois interventions (vaccination, fermeture des écoles et obligation de porter un masque) et la simulation de référence. Quelle intervention réduit le plus le nombre maximal de personnes infectieuses ?

R 

# create intervention_type column for plotting
output_vaccinate$intervention_type <- "vaccination"
output <- rbind(output_school, output_masks, output_vaccinate, output_baseline)

output %>%
  filter(compartment == "infectious") %>%
  ggplot() +
  aes(
    x = time,
    y = value,
    color = intervention_type,
    linetype = intervention_type
  ) +
  stat_summary(
    fun = "sum",
    geom = "line",
    linewidth = 1
  ) +
  scale_y_continuous(
    labels = scales::comma
  ) +
  theme_bw() +
  labs(
    x = "Simulation time (days)",
    y = "Individuals"
  )

Le graphique montre que le pic du nombre total d’individus infectieux en cas de vaccination est beaucoup plus faible que lors des fermetures d’écoles et des interventions avec port de masques.

Résumé

Différents types d’intervention peuvent être mis en œuvre à l’aide de la modélisation mathématique. La modélisation des interventions nécessite des hypothèses sur les paramètres du modèle qui sont affectés (par exemple, les matrices de contact, le taux de transmission), ainsi que sur l’ampleur et le moment de la simulation d’une épidémie.

L’étape suivante consiste à quantifier l’effet d’une intervention. Si vous souhaitez apprendre à comparer les interventions, veuillez suivre le didacticiel suivant Comparer les résultats des interventions en matière de santé publique.

Points clés

  • L’effet des NPI peut être modélisé comme une réduction des taux de contact entre les groupes d’âge ou une réduction du taux de transmission de l’infection.
  • La vaccination peut être modélisée en supposant que les individus passent à un état pathologique différent. \(V\)

Références

  1. Davies, N. G., Klepac, P., Liu, Y., Prem, K., Jit, M. et Eggo, R. M. (2020). Age-dependent effects in the transmission and control of COVID-19 epidemics (Effets dépendants de l’âge dans la transmission et le contrôle des épidémies de COVID-19). Nature Medicine, 26(8), 1205-1211. https://doi.org/10.1016/S2468-2667\(20\)30133-X

  2. Li, Y., Liang, M., Gao, L., Ahmed, M. A., Uy, J. P., Cheng, C., … & Sun, C. (2020). Masques de protection pour prévenir la transmission du COVID-19 : A systematic review and meta-analysis. American Journal of Infection Control, 49(7), 900-906. https://doi.org/10.1371/journal.pone.0237691

  3. Mossong, J., Hens, N., Jit, M., Beutels, P., Auranen, K., Mikolajczyk, R., … & Edmunds, W. J. (2008). Social contacts and mixing patterns relevant to the spread of infectious diseases (contacts sociaux et modèles de mélange pertinents pour la propagation des maladies infectieuses). PLoS medicine, 5(3), e74. https://doi.org/10.1371/journal.pmed.0050074